GEOMETRÍA MODERNA PARA INGENIERÍA [PDF]
Autor: Leandro Tortosa Grau - José Francisco Vicent Francés
Universidad de Alicante
PRESENTACIÓN
El contenido de este libro se ha elaborado pensando fundamentalmente en los estudiantes que cursan grados en los que se requieren nociones de geometría. Más concretamente, se encuentra dirigido a los estudiantes de Ingeniería Informática, Ingeniería Multimedia, Arquitectura, y otros estudios de carácter técnico en los que son básicos los conceptos fundamentales de geometría analítica en el espacio, curvas y superficies, así como una introducción a la geometría computacional.
En la redacción del texto se ha evitado al máximo las demostraciones matemáticas, las notaciones complejas y confusas, así como el rigor excesivo, con el objetivo fundamental de clarificar al máximo las propiedades, conceptos y técnicas expuestas. Somos conscientes de que el texto no va dirigido a estudiantes de Matemáticas, por lo que se ha intentado priorizar los razonamientos geométricos a los razonamientos lógico-formales. Aun así, resulta inevitable cierto componente abstracto que tienen como característica común todos los razonamientos algebraicos y geométricos.
Podríamos decir que los contenidos del libro se dividen en tres grandes bloques. El primero de ellos trata sobre geometría analítica en el espacio, que corresponde con el capítulo 2, en el que se introducen, al comienzo, los conceptos y operaciones básicas con vectores. Posteriormente, se estudian los aspectos básicos de la geometría del espacio, referidos a problemas con rectas, planos y distancias. En el capítulo 3 se estudian las transformaciones geométricas en el plano y en el espacio.
El segundo bloque, correspondiente a los capítulos 4 al 6, trata sobre curvas en el plano y superficies.
En el capítulo 4 tratamos las curvas en el plano, prestando especial atención a las cónicas y a sus aplicaciones. En el capítulo 5 se introducen las curvas de Bézier, fundamentales en el diseño asistido por ordenador. El capítulo 6 generaliza el concepto de curva de Bézier en el plano al espacio tridimensional.
El tercer y último bloque es una introducción a la geometría computacional, que trata básicamente sobre la utilización de algoritmos para la resolución de problemas geométricos. En el capítulo 7 se introducen los problemas fundamentales que resuelve la geometría computacional, a partir de los conceptos de envolvente convexa y diagramas de Voronoi. El capítulo 8 trata sobre el problema de la triangulación de un conjunto de puntos en el plano. prácticas de los contenidos teóricos expuestos en el capítulo. Si hay una parte de las matemáticas eminentemente práctica, esta es la geometría, por lo que resulta indispensable, bajo nuestro punto de vista, conectar los contenidos propios de la geometría con sus aplicaciones en el mundo real.
Dentro de la enorme variedad de software matemático que existe en el mercado, tanto libre como comercial, queremos destacar uno en particular por su potencia, sencillez de uso y enormes posibilidades para el estudio y aprendizaje de la geometría plana. Este software es GeoGebra (www.geogebra.org), es gratuito y está siendo ampliamente utilizado y desarrollado por la comunidad científica de todo el mundo.
Sin duda, estamos convencidos que se trata de la mejor herramienta manipulativa para el aprendizaje de la geometría plana. Actualmente se está desarrollando una versión que contempla el trabajo en el espacio tridimensional. El lector verá constantes referencias a construcciones geométricas desarrolladas con este software a lo largo de todos los capítulos de este libro.
A lo largo del texto, se pueden encontrar una gran variedad de ejemplos, así como algunos ejercicios resueltos, que ofrecen una perspectiva práctica de los conceptos y destrezas estudiadas de forma teórica. También se ofrece en cada capítulo una relación de ejercicios propuestos para que el alumno practique e intente resolver, de forma individualizada, algunos ejercicios para afianzar los conocimientos adquiridos.
También se han introducido unos recursos adicionales en los que aparecen páginas web cuyo contenido está relacionado con lo estudiado en cada capítulo. Este libro cuenta con una página web de recursos didácticos adicionales en los que podemos encontrar algunas de las construcciones que se detallan en los diferentes capítulos. Dicha página es: www.dccia.ua.es/~tortosa/.
Alicante, febrero del 2012 - L. Tortosa y J.F. Vicent
CONTENIDO
1 Introducción a la geometría clásica
1.1 Introducción histórica
1.1.1 La geometría antigua
1.1.2 Algunos protagonistas de la historia de la ciencia
2 Geometría euclídea en el espacio
2.1 Conceptos previos
2.1.1 Vectores: definición y operaciones básicas
2.1.2 Los vectores en el espacio
2.1.3 Producto escalar
2.1.4 Ortogonalidad y ortonormalización
2.1.5 Producto vectorial
2.1.6 Producto mixto
2.2 Rectas y planos en el espacio
2.2.1 La recta en el espacio
2.2.2 El plano en el espacio
2.2.3 Posiciones relativas de dos rectas
2.2.4 Posiciones relativas de dos planos
2.2.5 Posiciones relativas de tres planos
2.2.6 Posiciones relativas de recta y plano
2.3 Distancias en el espacio
2.3.1 Distancia de un punto a un plano
2.3.2 Distancia de un punto a una recta
2.3.3 Distancia entre dos rectas
2.4 Ángulos
2.4.1 Ángulo de dos planos
2.4.2 Ángulo de dos rectas
2.4.3 Ángulo de recta y plano
2.5 Otros sistemas coordenados en el espacio
2.5.1 Coordenadas cilíndricas
2.5.2 Coordenadas esféricas
2.6 Aplicaciones
2.6.1 La cuarta dimensión
2.6.2 Los poliedros de Schläfli
2.7 Ejercicios propuestos
3 Transformaciones geométricas
3.1 Transformaciones en el plano
3.2 Coordenadas homogéneas
3.2.1 Traslación en el plano
3.2.2 Escalado en el plano
3.2.3 Reflejando figuras en el plano
3.2.4 Rotaciones en el plano
3.3 Composición de transformaciones
3.4 Transformaciones en el espacio
3.4.1 Traslación en el espacio
3.4.2 Escalado en el espacio
3.4.3 Rotaciones en el espacio
3.5 Aplicaciones
3.5.1 Jugando al billar
3.5.2 Introducción
3.5.3 La geometría de Escher
3.5.4 Estudio de algunos teselados
3.6 Ejercicios propuestos
4 Curvas en el plano. Las cónicas
4.1 Curvas en forma implícita y paramétrica
4.1.1 Representación paramétrica de la circunferencia
4.2 Algunas curvas en el plano
4.3 Las cónicas y sus aplicaciones
4.3.1 Las cónicas como curvas cuadráticas
4.3.2 Clasificación de las cónicas
4.3.3 Elementos notables de las cónicas
4.3.4 Ecuaciones reducidas de las cónicas
4.3.5 Clasificación de las cónicas a partir de su discriminante
4.4 Las cónicas como lugar geométrico
4.4.1 La parábola
4.4.2 La elipse
4.4.3 La hipérbola
4.5 Aplicaciones
4.5.1 Los primeros telescopios
4.5.2 Epiciclos para explicar el movimiento de los astros
4.5.3 Un viaje interplanetario. Las órbitas de Hohmann
4.6 Ejercicios propuestos
5 Curvas de Bézier
5.1 Introducción a las curvas de Bézier
5.2 Las curvas de Bézier a partir de los polinomios de Bernstein
5.2.1 Los polinomios de Bernstein
5.2.2 Definición de curvas de Bézier
5.2.3 Propiedades básicas de las curvas de Bézier
5.2.4 Uniendo curvas de Bézier
5.3 El algoritmo de Casteljou
5.4 Aplicaciones
5.5 Ejercicios propuestos
6 Superficies de Bézier
6.1 Paraboloide hiperbólico
6.2 Superficies de Bézier a partir de paraboloides hiperbólicos
6.3 Superficies de Bézier construidas a partir de los polinomios de Bernstein
6.4 Superficies de Bézier triangulares
6.5 Ejercicios propuestos
7 Introducción a la geometría computacional
7.1 Introducción
7.2 La envolvente convexa
7.2.1 Un algoritmo intuitivo
7.2.2 Método de Graham
7.3 El diagrama de Voronoi
7.3.1 Determinación del diagrama de Voronoi
7.3.2 Propiedades del diagrama de Voronoi
7.4 Aplicaciones
7.4.1 El problema del círculo mínimo
7.4.2 El problema del robot
7.4.3 El problema de la galería de arte
7.5 Ejercicios propuestos
8 Triangulaciones de puntos
8.1 Introducción y motivación
8.2 Conceptos y algoritmos iniciales
8.3 El intercambio de aristas (flip) en las triangulaciones
8.4 Las triangulaciones de Delaunay
8.4.1 Definición y caracterización
8.4.2 Un algoritmo para construir la triangulación de Delaunay
8.5 Ejercicios propuestos
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Atentamente,
Admin de Hidro SM
