ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 [PDF]
Relaciones, Funciones, Límites, Continuidad, La Derivada y sus aplicaciones
Autor: J. Armando Venero B.
2da Edición - 2010
PRESENTACIÓN
Como alternativa a la necesidad de contar con un libro que complemente el primer curso de matemáticas universitarias en las especialidades de Ingeniería y Ciencias, es que presentamos esta obra que trata acerca del CÁLCULO DIFERENCIAL. El estudio de este tema es enfocado de dos maneras: teórica y práctica.
La teoría no es tan rigurosa, con ejemplos ilustrativos que explican por sí mismos la importancia de estudiar la teoría con atención y cuidado.
El estudio de este tema presupone conocer, aunque a un nivel elemental, la Lógica Simbólica y la Teoría de Conjuntos, y a un mayor grado las propiedades de los NÚMEROS REALES que se refieren a sus axiomas, a la solución de Ecuaciones e Inecuaciones tanto Lineales como Cuadráticas,
las propiedades del Valor Absoluto y del Máximo Entero, así como el Axioma del Supremo. Estas propiedades se pueden encontrar en muchos libros entre los cuales: MATEMÁTICA BÁSICA o INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO de mi autoría. Sin embargo, algunos conceptos y propiedades importantes los presentamos en este libro en un capítulo introductorio denominado Capítulo 0: NÚMEROS REALES.
Los capítulos de esta obra siguen un orden tal que cada uno de ellos depende del anterior en gran medida, razón por la cual aconsejamos al estudiante dedicarse con esmero a cada capítulo, tanto en lo que respecta a su teoría como a sus ejemplos resueltos.
CONTENIDO
Capítulo 0. Números Reales
- Axiomas de Relación de Orden
- Ecuaciones
- Ecuaciones Cuadráticas en una variable
- Completación de cuadrados
- Discriminante de ax^2+bx+c
- Valor absoluto de un número real
Capítulo 1. Relaciones
- Pares ordenados, Producto Cartesiano
- Relaciones. Tipos de Relaciones
- Gráficas de Relaciones
- Relaciones inversas
- Distancia entre dos puntos
- La recta y sus ecuaciones
- Rectas paralelas y rectas perpendiculares
- Distancia de un punto a una recta
- Ángulo entre dos rectas
- Gráficas que involucran el valor absoluto
- Gráficas de Ecuaciones: Parábolas, Circunferencias
- Criterios generales para graficar ecuaciones
- Serie de ejercicios
Capitulo 2. Funciones
- Funciones, Dominio, Rango y Gráfica
- Cálculo de dominios y rangos de funciones
- Funciones especiales: Identidad, constante, escalón unitario, signo, valor absoluto, máximo entero, raíz cuadrada, funciones cuadráticas, polinomios, seno y coseno
-Evaluación de una función en un punto
- Trazado de gráficas especiales
- Funciones Pares, impares y periódicas
- Álgebra de funciones: Igualdad de Funciones; suma, resta, multiplicación y cociente de funciones
- Composición de funciones
- Funciones inversas. Funciones Suryectivas, inyectivas y biyectivas
- Funciones trigonométricas y sus inversas
Capítulo 3. Límites
- Introducción
- Vecindades. Entornos. Vecindades reducidas
- Puntos de acumulación de un conjunto de números reales. Puntos de acumulación del dominio de una función
- Límites
- Teoremas sobre Límites y sus aplicaciones
- Límites Laterales. Ilustración geométrica
- Límites de funciones compuestas
- Cálculo de límites
- Límites trigonométricos
- Límites infinitos
- Asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas
- Serie de ejercicios
Capítulo 4. Continuidad
- Continuidad de una Función en un punto
- Continuidad de una Función sobre un subconjunto de su dominio
- Continuidad por la derecha; continuidad por la izquierda en un punto
- Clases de discontinuidades. Extensión continua
- Teoremas sobre continuidad
- Continuidad de funciones especiales
- Problemas resueltos
- Teoremas especiales sobre funciones continuas
- Funciones acotadas. Teorema fundamental de las funciones continuas. Teorema de los valores extremos absolutos
Capítulo 5. La Derivada
- Recta tangente a la gráfica de una función
- La derivada de una función. Funciones diferenciales
- Diferenciación de funciones especiales
- Teoremas sobre derivadas
- La derivada de una función compuesta
- Derivadas laterales
- Funciones no diferenciables
- Diferenciabilidad y continuidad
- Tópicos sobre análisis de la diferenciabilidad
- Derivadas de orden superior
- Diferenciación implícita
- Diferenciales. Error relativo y error porcentual
- Razón de cambio instantáneo. Velocidad instantánea
- Representación paramétrica de curvas. Derivadas
- Trazado de curvas paramétricas. Criterios
Capítulo 6. Aplicaciones de la derivada
- Valores extremos de una función
- El teorema de Rolle. El teorema del Valor Medio
- Teorema Generalizado del valor medio. Reglas de L'Hospital
- Funciones crecientes. Funciones decrecientes
- Aplicaciones del Teorema del Valor Medio
- Puntos Críticos de una función en un intervalo
- Criterio de la primera derivada. Criterio de la segunda derivada
- Concavidad. Puntos de inflexión
- Aplicaciones al trazado de curvas
- Derivada de la función inversa
- Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
- Aproximaciones sucesivas. Método de Newton
Capítulo 7. Logaritmo exponencial
- La función logaritmo (natural)
- Propiedades de la función logaritmo
- El número e. Un estimado de su valor numérico
- Derivación logarítmica
- Cálculo de límites logarítmicos
- La función exponencial (Natural)
- Límites exponenciales (naturales) y gráficas
- Gráficas de funciones exponenciales
- Algunos límites especiales
- Derivadas de funciones exponenciales generalizadas
- Límites de funciones exponenciales generalizadas
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