脕LGEBRA SUPERIOR [PDF]
Autor: Alejandro Bravo Mojica - Hugo Rinc贸n Mej铆a - C茅sar Rinc贸n Orta
Facultad de Ciencias, UNAM - 2006
Primera Edici贸n
PRESENTACI脫N
La Matem谩tica es una ciencia viva. Cada a帽o incorpora a su acervo miles de teoremas. Cada d铆a se producen nuevos resultados. Aparecen nuevas teor铆as y se actualizan las que son cl谩sicas. Se mejoran todas. La tecnolog铆a aporta nuevos puntos de vista; otra manera de enfocar los temas sustantivos de 茅sta, que es la m谩s pura expresi贸n de la inteligencia humana Sin embargo, dentro de esta revoluci贸n de nuevas ideas, se distinguen aquellas que por su trascendencia se conservan inc贸lumes. Apenas tocadas por el maquillaje de las nuevas formas de expresi贸n. La Geometr铆a de Euclides, enriquecida con las precisiones de Hilbert, permanece subyacente en una gran parte del conocimiento cient铆fico. Y qu茅 decir del 脕lgebra, el lenguaje universal con el que se expresa la Matem谩tica. Las ciencias de la computaci贸n han cambiado sustancialmente el proceso de ense帽anza-aprendizaje, pero los conceptos b谩sicos y la l贸gica con la que deben manejarse siguen siendo vigentes y su importante relevancia se reconoce en el 茅nfasis que se pone en los contenidos curriculares de los primeros cursos de las diferentes licenciaturas que no abandonan la ense帽anza de la Geometr铆a ni del 脕lgebra.
La idea central que nos motiv贸 para escribir este libro fue la de realizar un intento para reunir algunas partes esenciales de ese conocimiento sobre el que se construye y desarrolla el edificio de la Matem谩tica La experiencia de muchos cursos de 谩lgebra b谩sica que los estudiantes toman en los primeros semestres de sus carreras y que los autores hemos impartido durante varios a帽os en las facultades de Ciencias y de Qu铆mica de la UNAM, nos llevaron a seleccionar el contenido, y conscientes de que el problema del rigor es uno de los par谩metros m谩s importantes en el proceso de la ense帽anza-aprendizaje de la Matem谩tica, decidimos mantener 茅ste en un grado de dificultad adecuado para buscar el equilibrio -el justo balance- entre el formalismo deseado y el nivel de conocimientos y habilidades con que -sabemos- ingresan nuestros alumnos a las licenciaturas. Nos queda claro que el aprendizaje de la Matem谩tica exige la formaci贸n de estructuras mentales de la m谩s alta calidad, que obviamente, no pueden generarse de la nada. Para lograr un aprendizaje significativo, es indispensable ante todo, una buena formaci贸n previa y se requiere adem谩s un esfuerzo mantenido -constante- por parte del estudioso que debe “hacer suyo el conocimiento”. Que necesita ir modificando sus marcos conceptuales y desarrollando el caudal de habilidades y de herramientas te贸ricas que le permitan continuar con buen 茅xito su desarrollo profesional.
Enfatizamos aqu铆 la importancia de este esfuerzo, convencidos de que cada resultado, cada definici贸n, cada concepto que el estudiante ignora produce, cuando aparece en un discurso, un “cono de sombra” que oscurece, oculta o distorsiona una parte significativa del desarrollo posterior de teor铆a, que puede en muchos casos, volverse inentendible para 茅l.
CONTENIDO
1 L贸gica proposicional
1.1 Conceptos primitivos. Verdad, falsedad
1.2 Conectivos l贸gicos y Tablas de verdad
1.3 Tautolog铆as y absurdos
1.4 Sistemas completos de conectivos
1.5 Reglas de inferencia, deducciones
1.5.1 Regla del reemplazo
1.5.2 Regla de la tautolog铆a
1.5.3 Negaciones
1.5.4 Inferencias no v谩lidas
1.6 Reducci贸n al absurdo
1.7 Ap茅ndice. Sistemas formales
1.7.1 El sistema formal L
1.8 El Teorema de la deducci贸n y las hip贸tesis adicionales
1.9 Valuaci贸n
1.10 Cuantificadores
2 Conjuntos y funciones
2.1 Axiomas
2.1.1 Pertenencia y contenci贸n
2.1.2 Especificaci贸n y existencia
2.1.3 No hay un conjunto de todos los conjuntos
2.1.4 Intersecciones y complementos
2.1.5 Uniones
2.1.6 Familias
2.1.7 La diferencia sim茅trica
2.1.8 El conjunto potencia
2.2 Parejas ordenadas, producto cartesiano y relaciones
2.2.1 Axioma de regularidad
2.2.2 脫rdenes parciales
2.2.3 Ret铆culas
2.3 Orden en un producto de conjuntos ordenados
2.4 Funciones
2.4.1 Funciones inyectivas
2.4.2 Funciones suprayectivas
2.4.3 Funciones biyectivas
2.5 Cardinalidad
2.5.1 Axioma del infinito
2.5.2 Conjuntos infinitos
2.6 Im谩genes directas e im谩genes inversas
2.7 Relaciones de equivalencia y particiones
2.8 La relaci贸n de equivalencia generada por una relaci贸n
2.9 Operaciones
2.9.1 La restricci贸n de una operaci贸n
2.9.2 Operaciones asociativas
2.9.3 Tablas demultiplicar
3 El conjunto N de los n煤meros naturales
3.1 Introducci贸n
3.2 Los axiomas de Peano
3.3 Construcci贸n
3.4 Definiciones recursivas
3.5 Demostraciones inductivas
3.6 Conjuntos transitivos
3.7 Conjuntos infinitos y conjuntos finitos
3.8 El conjunto de los naturales es un conjunto infinito
3.9 El orden en los naturales
3.10 Recursi贸n
3.11 Las propiedades algebraicas de los naturales
3.11.1 La suma
3.11.2 El producto en N
3.11.3 Potencias
3.12 Ap茅ndice. Sobre las definiciones recursivas
4 Los n煤meros enteros
4.1 Construcci贸n y definiciones
4.2 El orden en Z
4.2.1 Los enteros positivos
4.3 Inmersi贸n de los naturales en los enteros
4.4 El producto en Z
4.5 El algoritmo de la divisi贸n
4.6 Divisibilidad y congruencias
4.6.1 Subconjuntos de Z cerrados bajo la resta
4.6.2 Elm谩ximo com煤n divisor
4.6.3 Elm铆nimo com煤nm煤ltiplo
4.7 El Teorema fundamental de la Aritm茅tica
4.7.1 El conjunto de primos es infinito
4.8 El algoritmo de Euclides
4.9 El anillo de los enterosm贸dulo n
4.10 Congruencias
4.11 Sistemas de congruencias
4.11.1 El Teorema chino del residuo
4.12 Ecuaciones diofantinas
4.13 Sistemas de numeraci贸n con bases distintas de 10
4.13.1 Algunos criterios de divisibilidad
4.14 Los n煤meros racionales
4.14.1 La suma en Q
4.14.2 El producto en Q
4.14.3 El orden en Q
4.14.4 Inmersi贸n de Z en Q
5 ¿De cu谩ntas maneras?
5.1 ¿Cu谩ntos subconjuntos tiene un conjunto con n elementos?
5.1.1 El principio de la pichoneras
5.2 Subconjuntos con k elementos de un conjunto con k elementos
5.3 Permutaciones
5.3.1 Ordenaciones
5.4 ¿Cu谩ntas funciones suprayectivas hay de A a B?
5.4.1 Relaci贸n de recurrencia para P
5.5 Ejercicios
6 El campo de los n煤meros reales
6.1 Consideraciones generales
6.2 Construcci贸n de R a partir de las cortaduras en Q
6.3 Cortaduras de Dedekind
6.4 El producto en R
6.5 Supremos e 铆nfimos
6.5.1 El principio del supremo
6.5.2 La recta est谩 completa
6.6 Representaci贸n decimal de un n煤mero real
7 El campo C de los n煤meros complejos
7.1 La inmersi贸n de R en C
7.1.1 Modelo
7.2 La conjugaci贸n
7.3 La norma
7.4 La ecuaci贸n general de segundo grado
7.4.1 Sistemas de ecuaciones
7.5 Representaci贸n geom茅trica de los n煤meros complejos
7.5.1 Pasar de coordenadas rectangulares a forma polar
7.6 Ra铆ces n-茅simas de un n煤mero complejo
7.7 El argumento de un n煤mero complejo
7.8 Algunas transformaciones del plano
7.8.1 Contracciones y expansiones
7.8.2 Rotaciones
7.8.3 Reflexi贸n sobre el eje X
7.8.4 Reflexi贸n respecto al origen
7.9 La funci贸n exponencial compleja
7.9.1 Representaci贸n geom茅trica de algunas rectas bajo la transformaci贸n E
7.9.2 La funci贸n logaritmo
7.10 Las funciones trigonom茅tricas
8 Espacios vectoriales
8.1 Conceptos preliminares
8.2 Espacios vectoriales
8.3 Subespacios
8.3.1 Dependencia lineal
8.4 Bases
8.4.1 Intersecci贸n de subespacios y suma de subespacios
8.5 Producto punto
8.6 Matrices
8.6.1 El rango de una matriz
8.7 Funciones lineales
8.8 La matriz de una funci贸n lineal entre F^n -t-> F^m
8.9 Sistemas de ecuaciones lineales
8.9.1 Algunas definiciones
8.9.2 Un m茅todo para resolver sistemas de ecuaciones lineales
8.9.3 Algoritmo para la soluci贸n de sistemas de ecuaciones lineales
8.10 Matrices reducidas y escalonadas
8.11 Determinantes
8.11.1 Notaciones para permutaciones
8.11.2 La paridad de una permutaci贸n
8.11.3 Determinantes
8.11.4 El desarrollo del determinante respecto a un rengl贸n
8.11.5 El determinante de un producto dematrices I
8.11.6 Determinantes y rango
8.11.7 El determinante de un producto dematrices II
8.11.8 Matrices invertibles y determinantes
8.11.9 La regla de Cramer
8.11.10Determinantes y funciones multilineales
8.11.11Resumen de las propiedades del determinante
9 Polinomios con coeficientes en R
9.1 Construcci贸n y definiciones
9.2 Evaluaci贸n
9.3 Los ideales de R [x]
9.3.1 Traslaci贸n de la gr谩fica de un polinomio
9.3.2 Elm茅todo de Horner
9.4 Un procedimiento gr谩fico para resolver algunas desigualdades
9.4.1 Procedimiento gr谩fico para resolver la desigualdad f (x) < 0
9.4.2 Una aplicaci贸n
9.5 Reflexi贸n sobre el eje Y
9.6 Continuidad
9.7 Valores intermedios
9.8 Derivadas
9.9 Derivadas y multiplicidad
9.10 El teorema de Sturm
9.11 Regla de los signos de Descartes
9.12 Ra铆ces racionales
9.13 Coeficientes y ra铆ces
9.14 Polinomios de tercer grado
9.14.1 El discriminante y n煤mero de ra铆ces reales
9.15 Polinomios de grado cuatro
9.16 Otra construcci贸n de C
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Atentamente,
Admin de Hidro SM
