jueves, 28 de abril de 2022

ūüďö Libro: √Ālgebra Superior - C√©sar Alejandro Rinc√≥n Orta

 

√Ālgebra Superior

√ĀLGEBRA SUPERIOR [PDF]

Autor: C√©sar Alejandro Rinc√≥n Orta - Amado Salvador Granados Aguilar, Eugenio Le√≥n Fautsch - Susana Ya√Īu Leticia Rub√≠n Rivero - Manuel V√°zquez Islas - Antonio Francisco D√≠az Garc√≠a
Mc Graw Hill
Universidad Nacional Autónoma de México

PRESENTACI√ďN

El conocimiento cient√≠fico necesita “matematizarse” para poder avanzar y expresarse adecuadamente en forma cuantitativa y, como lo indica el t√©rmino entrecomillado, es la matem√°tica lo que se requiere para tal prop√≥sito.

Independientemente de su utilidad, el estudio de la matem√°tica —que es bell√≠sima— es un ingrediente esencial en la formaci√≥n de los marcos conceptuales necesarios para el correcto funcionamiento de la mente, adem√°s de que proporciona el placer del orden y de lo bien estructurado.

Einstein afirmó que quien no disfrute de una buena demostración geométrica, no nació para científico. A pesar del impresionante avance de la tecnología y de las ciencias de la computación, en cuya base aparece en forma muy significativa la lógica matemática, el álgebra no ha perdido ni un ápice de su lugar de ser el conocimiento básico sobre el que se construye la matemática toda. Es por esta razón que en los primeros semestres de las carreras científicas y en algunas de las humanísticas, aparece el álgebra como una de las materias curriculares obligatorias.

Una de las dificultades con que tropiezan los maestros que imparten los primeros cursos de esta materia es la gran cantidad de material que debe cubrirse en ellos. Es necesario precisar la extensión (el tiempo que debe dedicarse a cada tema) y el rigor que resulte adecuado al heterogéneo nivel de los alumnos y que, a la vez, sea consistente con la formalidad matemática que su orientación profesional requiere.

La experiencia de los autores al impartir estos cursos durante varios a√Īos ha guiado la extensi√≥n del desarrollo de cada tema, sus aplicaciones y la forma que les pareci√≥ adecuada para este nivel. La selecci√≥n, tanto de los temas como de las aplicaciones, se hizo con el prop√≥sito de reunir en un solo volumen el contenido integral del programa de √°lgebra superior, y as√≠ ayudar a resolver la problem√°tica que tienen los profesores y los estudiantes al tener que utilizar una bibliograf√≠a amplia y, en general, poco accesible, ya sea por su costo, su falta de disponibilidad en el mercado o su insuficiente existencia en el acervo de las bibliotecas.

A continuaci√≥n se presenta una breve introducci√≥n al contenido de cada cap√≠tulo y su intenci√≥n: Cap√≠tulo 1 Se atienden los temas b√°sicos de l√≥gica, considerando que el alumno debe desarrollar un pensamiento matem√°tico bien ordenado, en el cual emplee correctamente el lenguaje preciso que proporciona la matem√°tica, que es el utilizado en la ciencia. Se enfatiza el an√°lisis de argumentos que es esencial para determinar la validez de √©stos. La inclusi√≥n de los temas elementales de la teor√≠a de conjuntos se basa en la importancia que √©sta tiene en la construcci√≥n de modelos para un gran n√ļmero de problemas de la matem√°tica.

Cap√≠tulo 2 Se desarrolla el tema de sistemas de ecuaciones, debido al gran n√ļmero de problemas cuyo modelado y soluci√≥n los requiere. Adem√°s del tratamiento que generalmente se le da, se considera el balanceo de ecuaciones qu√≠micas y el an√°lisis dimensional, ambas aplicaciones importantes. Con objeto de sustentar la teor√≠a que se ocupa en este cap√≠tulo, se adjunta un breve tratamiento de matrices y determinantes.

Cap√≠tulo 3 Se formaliza la estructura del √°lgebra de ecuaciones, mediante la construcci√≥n axiom√°tica del campo de los n√ļmeros reales y sus subconjuntos m√°s importantes —naturales, enteros y racionales—, cuyas propiedades se utilizan cotidianamente sin expresi√≥n expl√≠cita, as√≠ como su extensi√≥n al campo de los n√ļmeros complejos. El campo de los n√ļmeros reales, es el h√°bitat natural del c√°lculo de variable real, por lo que su estudio resulta indispensable en este nivel. En opini√≥n de los autores, la problem√°tica para el aprendizaje del c√°lculo se encuentra altamente influida por la falta de dominio adecuado del √°lgebra, raz√≥n que justifica el desarrollo del tema.

La propiedad que tienen los n√ļmeros complejos de contener a todas las ra√≠ces de sus ecuaciones —ser algebraicamente cerrados— los hace especialmente adecuados para el estudio del √°lgebra y de sus aplicaciones en algunos temas de la matem√°tica superior (geometr√≠a algebraica, por ejemplo).

Cap√≠tulo 4 Se formaliza la definici√≥n de polinomio y de sus operaciones. Se estudian las funciones polinomiales y algunos de sus teoremas cl√°sicos como el teorema del residuo, el teorema del factor y multiplicidad de ra√≠ces, entre otros. Se describen algunos m√©todos para encontrar las ra√≠ces de las ecuaciones o aproximarlas por m√©todos num√©ricos, cuando sea el caso. 

Cap√≠tulo 5 Se dedica a la parte m√°s elemental del √°lgebra lineal, necesaria para el manejo adecuado de la matem√°tica en cursos posteriores. Se da la definici√≥n de grupo, campo, espacio vectorial y subespacio generado. Utilizando el lema de Zorn, se demuestran los teoremas relacionados con la dependencia e independencia lineal, existencia de bases y se justifica la definici√≥n de dimensi√≥n de un espacio vectorial. Se utiliza el producto punto para aplicar el √°lgebra lineal en la geometr√≠a —rectas y planos—. Anexos En los anexos se incluyen algunos temas y demostraciones (un poco m√°s formales) con el objeto de llenar las lagunas que se dejaron —deliberadamente— en algunos cap√≠tulos.

Adem√°s, se presenta un buen n√ļmero de ejercicios como ayuda para que los estudiantes se familiaricen con los temas tratados y puedan adquirir una razonable comprensi√≥n de √©stos, de manera que puedan autoevaluar el nivel de dominio adquirido al estudiarlos.

CONTENIDO

Unidad 1 Lógica y conjuntos
1.1 Lógica matemática
Definición de proposición
Tautologías y absurdos
Proposiciones equivalentes
Argumentos y demostraciones
Algunas propiedades del s√≠mbolo “⊢” (se puede demostrar)
El c√°lculo proposicional es consistente y completo
Cuantificadores
1.2 Conjuntos
Introducción
1.3 Conceptos primitivos, definiciones, axiomas y teoremas 
Contenci√≥n de conjuntos 
Nuevos conjuntos 
El conjunto vac√≠o y el conjunto universal 
Familia de conjuntos
Uniones 
1.4 √Ālgebra de conjuntos
Intersecciones
Diferencias 
Complemento
El conjunto potencia
1.5 Producto cartesiano
Pareja ordenada
Relaciones y funciones
Algunas propiedades del producto cartesiano
1.6 Suma y producto booleanos
Una representación gráfica
1.7 Algunas demostraciones en la teoría de conjuntos
1.8 El concepto de función
√Ālgebra de funciones 

Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes
2.1 Sistemas de ecuaciones lineales
Introducci√≥n 
2.2 Matrices
Igualdad de matrices 
Algunos tipos de matrices
Operaciones con matrices 
Operaciones elementales en los renglones 
Sistemas de ecuaciones lineales
C√≥mo seleccionar los par√°metros 
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones
Representación generalizada
Balanceo de ecuaciones químicas. Método algebraico
Ejemplos de balanceo de reacciones químicas
2.3 An√°lisis dimensional
Dimensi√≥n 
M√©todo de Rayleigh 
Método de Buckingham
2.4 Determinantes
C√°lculo de determinantes

Unidad 3 Sistemas numéricos
3.1 El sistema de los n√ļmeros reales
Axiomas de campo
Algunas propiedades de campo de los n√ļmeros reales
Axiomas de orden
Subsistemas de los n√ļmeros reales
Axioma de completez
Algunas representaciones de los n√ļmeros reales
3.2 N√ļmeros complejos
El modelo de Gauss y la inmersión de R en C
La conjugación
La norma
La ecuación general de segundo grado
Sistemas de ecuaciones
Representaci√≥n geom√©trica de los n√ļmeros complejos
Ra√≠ces n-√©simas de un n√ļmero complejo
El argumento de un n√ļmero complejo 
La función exponencial compleja
Representación geométrica de algunas rectas bajo la transformación E
La función logaritmo
Las funciones trigonométricas

Unidad 4 Polinomios y teor√≠a de ecuaciones 
4.1 Polinomios 
Suma y multiplicación
Grado
Inmersi√≥n de K en K [x] 
Algoritmo de la divisi√≥n 
4.2 Funciones polinomiales
Teorema del residuo
Raíces de ecuaciones polinomiales
Teorema del factor
Algoritmo de la división sintética
Ra√≠ces complejas 
Ra√≠ces “surd” 
Las ecuaciones generales de 2°, 3° y 4° grados
4.3 Algunos resultados de la teor√≠a de n√ļmeros y su aplicaci√≥n a los polinomios y a las funciones polinomiales 
M√°ximo com√ļn divisor de dos enteros (algoritmo de Euclides)
Fracciones parciales
4.4 Métodos numéricos
Introducción
Error 
C√°lculo de ra√≠ces de ecuaciones 
M√©todo de iteraci√≥n de punto fijo 
Método de bisección
M√©todo de Newton-Raphson 
Aplicaciones 
Estimación de las constantes de la ecuación de estado de Van der Waals

Unidad 5 √Ālgebra lineal
5.1 Grupos abelianos (o conmutativos) 
5.2 Anillos, dominios enteros y campos
5.3 Homomorfismos
5.4 Espacios vectoriales
Dependencia e independencia lineal. Bases y dimensi√≥n 
Dimensión
5.5 Producto escalar, norma y métrica en Rn
Norma
Distancia
√Āngulos y ortogonalidad
Conjuntos y bases ortogonales 
Proyecciones 
Aplicaciones 
5.6 Producto vectorial 
Definición
Analogía con la solución como determinante
Interpretación geométrica de la norma del producto vectorial
Algunas propiedades del producto vectorial 
5.7 Triple producto escalar
Definiciones 
Interpretación geométrica
5.8 Rectas y planos
Las rectas en R^n
Una ecuación de la recta que pasa por dos puntos
√Āngulo entre rectas
Planos en R3
Una ecuación del plano que pasa por tres puntos no colineales
Ecuaci√≥n normal del plano 
√Āngulo entre planos 
√Āngulo entre recta y plano
5.9 Transformaciones lineales


* Recuerda que nuestras publicaciones est√°n libres de enlaces maliciosos, ni publicidad enga√Īosa. Si alguno de nuestros enlaces se encuentra ca√≠do, agradecer√≠a que nos lo comuniquen.
Atentamente,
Admin de Hidro SM
Comments


EmoticonEmoticon