ÁLGEBRA SUPERIOR [PDF]
Autor: César Alejandro Rincón Orta - Amado Salvador Granados Aguilar, Eugenio León Fautsch - Susana Yañu Leticia Rubín Rivero - Manuel Vázquez Islas - Antonio Francisco Díaz García
Mc Graw Hill
Universidad Nacional Autónoma de México
PRESENTACIÓN
El conocimiento científico necesita “matematizarse” para poder avanzar y expresarse adecuadamente en forma cuantitativa y, como lo indica el término entrecomillado, es la matemática lo que se requiere para tal propósito.
Independientemente de su utilidad, el estudio de la matemática —que es bellísima— es un ingrediente esencial en la formación de los marcos conceptuales necesarios para el correcto funcionamiento de la mente, además de que proporciona el placer del orden y de lo bien estructurado.
Einstein afirmó que quien no disfrute de una buena demostración geométrica, no nació para científico. A pesar del impresionante avance de la tecnología y de las ciencias de la computación, en cuya base aparece en forma muy significativa la lógica matemática, el álgebra no ha perdido ni un ápice de su lugar de ser el conocimiento básico sobre el que se construye la matemática toda. Es por esta razón que en los primeros semestres de las carreras científicas y en algunas de las humanísticas, aparece el álgebra como una de las materias curriculares obligatorias.
Una de las dificultades con que tropiezan los maestros que imparten los primeros cursos de esta materia es la gran cantidad de material que debe cubrirse en ellos. Es necesario precisar la extensión (el tiempo que debe dedicarse a cada tema) y el rigor que resulte adecuado al heterogéneo nivel de los alumnos y que, a la vez, sea consistente con la formalidad matemática que su orientación profesional requiere.
La experiencia de los autores al impartir estos cursos durante varios años ha guiado la extensión del desarrollo de cada tema, sus aplicaciones y la forma que les pareció adecuada para este nivel. La selección, tanto de los temas como de las aplicaciones, se hizo con el propósito de reunir en un solo volumen el contenido integral del programa de álgebra superior, y así ayudar a resolver la problemática que tienen los profesores y los estudiantes al tener que utilizar una bibliografía amplia y, en general, poco accesible, ya sea por su costo, su falta de disponibilidad en el mercado o su insuficiente existencia en el acervo de las bibliotecas.
A continuación se presenta una breve introducción al contenido de cada capítulo y su intención: Capítulo 1 Se atienden los temas básicos de lógica, considerando que el alumno debe desarrollar un pensamiento matemático bien ordenado, en el cual emplee correctamente el lenguaje preciso que proporciona la matemática, que es el utilizado en la ciencia. Se enfatiza el análisis de argumentos que es esencial para determinar la validez de éstos. La inclusión de los temas elementales de la teoría de conjuntos se basa en la importancia que ésta tiene en la construcción de modelos para un gran número de problemas de la matemática.
Capítulo 2 Se desarrolla el tema de sistemas de ecuaciones, debido al gran número de problemas cuyo modelado y solución los requiere. Además del tratamiento que generalmente se le da, se considera el balanceo de ecuaciones químicas y el análisis dimensional, ambas aplicaciones importantes. Con objeto de sustentar la teoría que se ocupa en este capítulo, se adjunta un breve tratamiento de matrices y determinantes.
Capítulo 3 Se formaliza la estructura del álgebra de ecuaciones, mediante la construcción axiomática del campo de los números reales y sus subconjuntos más importantes —naturales, enteros y racionales—, cuyas propiedades se utilizan cotidianamente sin expresión explícita, así como su extensión al campo de los números complejos. El campo de los números reales, es el hábitat natural del cálculo de variable real, por lo que su estudio resulta indispensable en este nivel. En opinión de los autores, la problemática para el aprendizaje del cálculo se encuentra altamente influida por la falta de dominio adecuado del álgebra, razón que justifica el desarrollo del tema.
La propiedad que tienen los números complejos de contener a todas las raíces de sus ecuaciones —ser algebraicamente cerrados— los hace especialmente adecuados para el estudio del álgebra y de sus aplicaciones en algunos temas de la matemática superior (geometría algebraica, por ejemplo).
Capítulo 4 Se formaliza la definición de polinomio y de sus operaciones. Se estudian las funciones polinomiales y algunos de sus teoremas clásicos como el teorema del residuo, el teorema del factor y multiplicidad de raíces, entre otros. Se describen algunos métodos para encontrar las raíces de las ecuaciones o aproximarlas por métodos numéricos, cuando sea el caso.
Capítulo 5 Se dedica a la parte más elemental del álgebra lineal, necesaria para el manejo adecuado de la matemática en cursos posteriores. Se da la definición de grupo, campo, espacio vectorial y subespacio generado. Utilizando el lema de Zorn, se demuestran los teoremas relacionados con la dependencia e independencia lineal, existencia de bases y se justifica la definición de dimensión de un espacio vectorial. Se utiliza el producto punto para aplicar el álgebra lineal en la geometría —rectas y planos—. Anexos En los anexos se incluyen algunos temas y demostraciones (un poco más formales) con el objeto de llenar las lagunas que se dejaron —deliberadamente— en algunos capítulos.
Además, se presenta un buen número de ejercicios como ayuda para que los estudiantes se familiaricen con los temas tratados y puedan adquirir una razonable comprensión de éstos, de manera que puedan autoevaluar el nivel de dominio adquirido al estudiarlos.
CONTENIDO
Unidad 1 Lógica y conjuntos
1.1 Lógica matemática
Definición de proposición
Tautologías y absurdos
Proposiciones equivalentes
Argumentos y demostraciones
Algunas propiedades del símbolo “⊢” (se puede demostrar)
El cálculo proposicional es consistente y completo
Cuantificadores
1.2 Conjuntos
Introducción
1.3 Conceptos primitivos, definiciones, axiomas y teoremas
Contención de conjuntos
Nuevos conjuntos
El conjunto vacío y el conjunto universal
Familia de conjuntos
Uniones
1.4 Álgebra de conjuntos
Intersecciones
Diferencias
Complemento
El conjunto potencia
1.5 Producto cartesiano
Pareja ordenada
Relaciones y funciones
Algunas propiedades del producto cartesiano
1.6 Suma y producto booleanos
Una representación gráfica
1.7 Algunas demostraciones en la teoría de conjuntos
1.8 El concepto de función
Álgebra de funciones
Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes
2.1 Sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
2.2 Matrices
Igualdad de matrices
Algunos tipos de matrices
Operaciones con matrices
Operaciones elementales en los renglones
Sistemas de ecuaciones lineales
Cómo seleccionar los parámetros
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones
Representación generalizada
Balanceo de ecuaciones químicas. Método algebraico
Ejemplos de balanceo de reacciones químicas
2.3 Análisis dimensional
Dimensión
Método de Rayleigh
Método de Buckingham
2.4 Determinantes
Cálculo de determinantes
Unidad 3 Sistemas numéricos
3.1 El sistema de los números reales
Axiomas de campo
Algunas propiedades de campo de los números reales
Axiomas de orden
Subsistemas de los números reales
Axioma de completez
Algunas representaciones de los números reales
3.2 Números complejos
El modelo de Gauss y la inmersión de R en C
La conjugación
La norma
La ecuación general de segundo grado
Sistemas de ecuaciones
Representación geométrica de los números complejos
Raíces n-ésimas de un número complejo
El argumento de un número complejo
La función exponencial compleja
Representación geométrica de algunas rectas bajo la transformación E
La función logaritmo
Las funciones trigonométricas
Unidad 4 Polinomios y teoría de ecuaciones
4.1 Polinomios
Suma y multiplicación
Grado
Inmersión de K en K [x]
Algoritmo de la división
4.2 Funciones polinomiales
Teorema del residuo
Raíces de ecuaciones polinomiales
Teorema del factor
Algoritmo de la división sintética
Raíces complejas
Raíces “surd”
Las ecuaciones generales de 2°, 3° y 4° grados
4.3 Algunos resultados de la teoría de números y su aplicación a los polinomios y a las funciones polinomiales
Máximo común divisor de dos enteros (algoritmo de Euclides)
Fracciones parciales
4.4 Métodos numéricos
Introducción
Error
Cálculo de raíces de ecuaciones
Método de iteración de punto fijo
Método de bisección
Método de Newton-Raphson
Aplicaciones
Estimación de las constantes de la ecuación de estado de Van der Waals
Unidad 5 Álgebra lineal
5.1 Grupos abelianos (o conmutativos)
5.2 Anillos, dominios enteros y campos
5.3 Homomorfismos
5.4 Espacios vectoriales
Dependencia e independencia lineal. Bases y dimensión
Dimensión
5.5 Producto escalar, norma y métrica en Rn
Norma
Distancia
Ángulos y ortogonalidad
Conjuntos y bases ortogonales
Proyecciones
Aplicaciones
5.6 Producto vectorial
Definición
Analogía con la solución como determinante
Interpretación geométrica de la norma del producto vectorial
Algunas propiedades del producto vectorial
5.7 Triple producto escalar
Definiciones
Interpretación geométrica
5.8 Rectas y planos
Las rectas en R^n
Una ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Ángulo entre rectas
Planos en R3
Una ecuación del plano que pasa por tres puntos no colineales
Ecuación normal del plano
Ángulo entre planos
Ángulo entre recta y plano
5.9 Transformaciones lineales
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Atentamente,
Admin de Hidro SM
