GEOMETRÍA ANALÍTICA [PDF]
Puntos, Vectores y Matrices
Autor: Fausto Arturo Contreras Rosales
Universidad Autónoma de Aguas Calientes
Primera Edición - 2019
PRESENTACIÓN
La geometría es una de las ramas más antiguas de la matemática y se encuentra bastante información al respecto, tanto bibliográfica como en la red. Por su parte, la creación de la geometría analítica se atribuye tradicionalmente a René Descartes, no obstante ya se conocían trabajos anteriores a él en los que se combinaron la geometría y el álgebra. Además, Descartes no empleó el concepto geométrico de vector.
En este libro se desarrolla la Geometría Analítica Euclidiana del plano y del espacio desde una perspectiva vectorial. No es que no hayan diversos textos en el mercado con este material; desafortunadamente los que abordan el tema con un rigor aceptable (sin entrar en detalle en lo que significa aceptable) se encuentran fuera de imprenta y son de difícil adquisición, y los que son comerciales, es precisamente esta cualidad lo que les resta rigor y profundidad al tratar los conceptos. Esta obra no pretende redefinir el rigor de la materia, sino más bien contribuir como un texto moderno y con un tratamiento adecuado para estudiantes de matemáticas o física, o en su caso, para estudiantes de ingeniería que deseen complementar sus cursos de física, álgebra lineal o cálculo en varias variables en lo que a interpretación geométrica se refiere.
El contenido está pensado en el curso Geometría Analítica Vectorial del plan de estudios de la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas de la Universidad Autónoma de Aguascalientes y está basado en la experiencia adquirida por el autor a través de la impartición del curso a diez generaciones. No es un texto que pueda usarse para cursos de Álgebra Lineal ni para Cálculo, pero se hacen referencia a conceptos elementales de dichos cursos, como gráficas de curvas, resolución de sistemas de ecuaciones lineales, entre otros. Vale la pena comentar que no fue sencillo decidir qué temas de álgebra lineal había que incluir o excluir. Conceptos como dependencia e independencia lineal, espacios y subespacios vectoriales no se mencionan explícitamente. Sin embargo, cuando ellos se presentan en el estudio de objetos geométricos, se hacen breves observaciones o comentarios al respecto. En lo que a curvas y rectas tangentes a éstas se refiere, el tratamiento es muy limitado debido a que no se desarrollan herramientas de cálculo.
El desarrollo de los temas comienza con los vectores en el Plano euclidiano para dar el salto a la tercera dimensión de manera natural al hacer hincapié en las operaciones que se comportan del mismo modo y que gozan de las mismas propiedades, asimismo de lo que ya no es válido al aumentar la dimensión. A continuación se estudian las ecuaciones en sus diferentes formas con las que se pueden determinar las rectas en el plano. El siguiente paso es trasladar las rectas al espacio y hacer notar que muchas propiedades de éstas ya no se verifican. La analogía entre rectas en el plano euclidiano y planos en el espacio se pone ahora de manifiesto.
Lo que a curvas se refiere, éstas se estudian en el caso bidimensional incluyendo la rotación de ejes; las curvas en tres dimensiones se presentan sólo pictográficamente, presentando para el caso tridimensional únicamente las curvas sobre superficies cónicas. Se estudian también las curvas en coordenadas polares en el plano mientras que las coordenadas cilíndricas y esféricas se dejan sólo para la representación de puntos en los diferentes sistemas coordenados.
Se espera que el estudiante domine temas del álgebra elemental, como productos y factorizaciones notables, leyes de los exponentes, entre otras, así como el conocimiento básico de la trigonometría, como las funciones trigonométricas, las leyes de los senos y cosenos y resolución de triángulos.
La mayoría de las figuras se muestran en el espacio tridimensional, pues el instructor percibirá que las gráficas de objetos bidimensionales son relativamente más sencillas de trazar en el pizarrón a mano alzada, dando además con ello al estudiante un apoyo visual en lo que a objetos geométricos tridimensionales se refiere.
CONTENIDO
Capítulo 1. Vectores en el plano y en el espacio
1. Coordenadas rectangulares en el plano y en el espacio
2. Operaciones entre vectores y escalares
3. Norma y dirección de vectores
4. Ángulo entre vectores: producto escalar
5. Descomposición de vectores
6. Producto vectorial
7. Ejercicios
Capítulo 2. Rectas en el plano
1. Ecuaciones de la recta en el plano cartesiano
2. Distancia de un punto a una recta
3. Intersección de rectas
4. Ejercicios
Capítulo 3. Rectas y planos en el espacio
1. Rectas en el espacio
2. Planos en el espacio
3. Distancia de un punto a un plano
4. Intersecciones de recta con plano y plano con plano
5. Ejercicios
Capítulo 4. Curvas en el plano
1. Lugares geométricos
2. Secciones cónicas
2.1. Circunferencia
2.2. Parábola
2.3. Elipse
2.4. Hipérbola
3. Excentricidad
4. Ejercicios
Capítulo 5. Sistemas de coordenadas
1. Rotación de ejes
2. Coordenadas polares
3. Gráficas en coordenadas polares
4. Las secciones cónicas en coordenadas polares
5. Ejercicios
Capítulo 6. Superficies y curvas en el espacio
1. Cónicas en el espacio
2. Superficies cilíndricas
3. Sistemas de coordenadas: cilíndricas y esféricas
4. Curvas en el espacio
5. Ejercicios
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Atentamente,
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