GEOMETR脥A ANAL脥TICA [PDF]
Autor: Charles H. Lehmann
The Cooper Union Scholl of Engineering
PRESENTACI脫N
El libro que presentamos constituye un curso de Geometr铆a anal铆tica plana y del espacio. Supone el conocimiento, por parte del lector, de los principios fundamentales de Geometr铆a elemental, Trigonometr铆a plana y Algebra.
En su preparaci贸n el autor se ha esforzado, principalmente, en satisfacer las necesidades de maestros y alumnos. Una simple lectura del 铆ndice mostrar谩 que los temas considerados son aquellos incluidos generalmente en los libros de texto de Geometr铆a anal铆tica. Creemos que el maestro encontrar谩 en este libro todo el material que puede considerar como esencial para un curso de esta materia, ya que no es conveniente, por lo general, el tener que complementar un libro de texto con material de otros libros.
El m茅todo did谩ctico empleado en todo el libro consta de las siguientes partes: orientaci贸n, motivo, discusi贸n y ejemplos, a la manera de una lecci贸n oral. Para orientaci贸n del estudiante, el autor ha usado el m茅todo de presentar primero ideas familiares y pasar luego paulatinamente y de una manera natural a nuevos conceptos. Por esta raz贸n, cada cap铆tulo comienza con un art铆culo preliminar. Este enlace de los conocimientos anteriores del estudiante con los nuevos conceptos de la Geometr铆a anal铆tica es de considerable importancia, porque un mal entendimiento del m茅todo anal铆tico en los principios conducir谩, inevitablemente, a dificultades continuas en las partes m谩s avanzadas.
En el desarrollo de los temas se ha puesto especial cuidado en fijar el motivo. Esto es necesario si se quiere que el alumno obtenga un conocimiento b谩sico de los m茅todos anal铆ticos y no haga una simple adquisici贸n de hechos geom茅tricos. Se ha hecho todo lo posible por encauzar el proceso de razonamiento de tal manera que aparte al estudiante de la tarea de memorizar.
En general, hemos resumido en forma de teoremas los resultados de la discusi贸n de un problema o una proposici贸n particular. Este procedimiento no solamente sirve para llamar la atenci贸n sobre los resultados importantes, sino tambi茅n clasifica a dichos resultados para futura referencia.
CONTENIDO
CAPITULO PRIMERO
SISTEMAS DE COORDENADAS
1. Introducci贸n
2. Segmento rectil铆neo dirigido
3. Sistema coordenado lineal
4. Sistema coordenado en el plano
5. Car谩cter de la Geometr铆a anal铆tica
6. Distancia entre dos puntos dados
7. Divisi贸n de un segmento en una raz贸n dada
8. Pendiente de una recta
9. Significado de la frase ‘condici贸n necesaria y suficiente'
10. Angulo de dos rectas
11. Demostraci贸n de teoremas geom茅tricos por el m茅todo anal铆tico
12. Resumen de-f贸rmulas
CAPITULO II
GRAFICA DE U NA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS
13. Dos problemas fundamentales de la Geometr铆a anal铆tica
14. Primer problema fundamental. Gr谩fica de una ecuaci贸n
15. Intercepciones con los ejes
16. Simetr铆a
17. Extensi贸n de una curva
18. As铆ntotas
19. Construcci贸n de curvas
20. Ecuaciones factor铆zables
21. Intersecciones de curvas
22. Segundo problema fundamental
23. Ecuaci贸n de un lugar geom茅trico
CAPITULO III
LA LINEA RECTA
24. Introducci贸n
25. Definici贸n de l铆nea recta
26. Ecuaci贸n de una recta que pasa por un p unto y tiene una pendiente dada
27. Otras formas de la ecuaci贸n de la recta
28. Forma general de la ecuaci贸n de una recta
29. Discusi贸n de la forma general
30. Posiciones relativas de dos rectas
31. Forma normal de la ecuaci贸n de la recta
32. Reducci贸n de la forma general de la ecuaci贸n de una recta a la forma normal
33. Aplicaciones de la forma normal
34. 脕rea de un tri谩ngulo
35. Ecuaci贸n de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determina
36. Familias-de l铆neas rectas
37. Resumen de resultad贸s
CAPITULO IV
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
38. Introducci贸n
39. Ecuaci贸n de la circunferencia; forma ordinaria
40. Forma general de la ecuaci贸n de la circunferencia
41. Determinaci贸n de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas.
42. Familias de circunferencias
43. Eje radical
44. Tangente a una curva
45. Tangente a una circunferencia
46. Teoremas y problemas de lugares geom茅tricos relativos a la circunferencia
CAPITULO V
TRANSFORMACION DE COORDENADAS
47. Introducci贸n
48. Transformaciones
49. Transformaci贸 n de coordenadas
50. Traslaci贸n de los ejes coordenados
51. Rotaci贸n de los ejes coordenados
52. Simplificaci贸n de ecuaciones por transformaci贸n de coordenadas
CAPITULO VI
LA PARABOLA
53. Introducci贸n
54. Definiciones
55. Ecuaci贸n de la par谩bola de v茅rtice en el origen y eje un eje coordenado
56. Ecuaci贸n de una par谩bola de v茅rtice (h , h ) y eje paralelo a un eje coordenado
57. Ecuaci贸n de la tangente a una par谩bola
58. La funci贸n cuadr谩tica
59. Algunas aplicaciones de la par谩bola
CAPITULO VII
LA ELIPSE
60. Definiciones
61. Ecuaci贸n de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes de la elipse
62. Ecuaci贸n de la elipse de centro (h , k) y ejes paralelos a los coordenados
63. Propiedades de la elipse
CAPITULO VIII
LA HIPERBOLA
64. Definiciones
65. Primera ecuaci贸n ordinaria de la hip茅rbola
66. As铆ntotas de la hip茅rbola
67. Hip茅rbola equil谩tera o rectangular
68. Hip茅rbolas conjugadas
69. Segunda ecuaci贸n ordinaria de la hip茅rbola
70. Propiedades de la hip茅rbola
71. Primer resumen relativo a las secciones c贸nicas
CAPITULO IX
ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO
72. Introducci贸n
73. Transformaci贸n de la ecuaci贸n general por rotaci贸n de los ejes coordenados
74. El indicador I — B 2 — 4 A C
75. Definici贸n general de c贸nica
76. Tan gente a la c贸nica general
77. Sistemas de c贸nicas
78. Secciones planas de un cono circular recto
CAPITULO X
COORDENADAS POLARES
79. Introducci贸n
80. Sistema de coordenadas polares
81. Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa
82. T raz ad o de curvas en coordenadas polares
83. Intersecciones de curvas dadas en coordenadas polares
84. F 贸rmula de la distancia entre dos punto s en coordenadas polares
85. Ecuaci贸n de la recta en coordenadas polares
86. Ecuaci贸n de la circunferencia en coordenadas polares
87. Ecuaci贸n general de las c贸nicas en coordenadas polares
88. Problemas relativos a lugares geom茅tricos en coordenadas polares
CAPITULO XI
ECUACIONES PARAMETRICAS
89. Introducci贸n
90. Obtenci贸n de la ecuaci贸n rectangular de una curva a partir de su representaci贸n param茅trica
91. Gr谩fica de una curva a partir de su representaci贸n param茅trica
92. Representaci贸n param茅trica de las c贸nicas
93. La cicloide
94. Epicicloide e hipocicloide
95. Resoluci贸n de problemas de lugares geom茅tricos por el m茅todo param茅trico
CAPITULO XII
CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR
96. Clasificaci贸n de funciones
97. Clasificaci贸n de las curvas planas
98. Algunas curvas planas algebraicas de grado superior
99. Tres famosos problemas de la antig眉edad
100. La sinusoide
101. Otras curvas trigonom茅tricas
102. Gr谩ficas de las funciones trigonom茅tricas inversas
103. Curva lo g ar铆tmica
104. Curva exponencial
105. Curvas compuestas
GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACI O
CAPITULO XIII
EL PUNTO EN EL ESPACIO
106. Introducci贸n
107. Sistemas de coordenadas rectangulares en el espacio
108. Distancia entre dos punto s dados en el espacio
109. Divisi贸n de un segmento en el espacio en una raz贸n dada
110. Cosenos directores de una recta en el espacio
111. N煤meros directores de una recta en el espacio
112. Angulo formado por dos rectas dirigidas en el espacio
113. N煤meros directores de una recta perpendicular a dos dadas
114. Introducci贸n
115. Forma general de la ecuaci贸n del plano
116. Discusi贸n de la forma general
117. Otras formas de la ecuaci贸n del plano
118. Posiciones relativas de dos planos
119. Forma normal de la ecuaci贸n del plano
120. Aplicaciones de la forma normal
121. Familias de planos
CAPITULO XV
LA RECTA EN EL ESPACIO
122. Introducci贸n
123. Forma general de las ecuaciones de la recta
124. Forma sim茅trica de las ecuaciones de la recta: ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos, y ecuaciones param茅tricas de la recta
125. Planos proyectantes de una recta
126. Reducci贸n de la forma general a la forma sim茅trica
127. Posiciones de una recta y un plano
CAPITULO XVI
SUPERFICIES
128- Introducci贸n
129. Discusi贸n de la ecuaci贸n de una superficie
130. Construcci贸n de una superficie
131. Ecuaci贸n de la superficie esf茅rica
132. Coordenadas esf茅ricas
133. Ecuaci贸n de una superficie cilindrica
134. Coordenadas cilindricas
135. Ecuaci贸n de una superficie c贸nica
136. Superficies de revoluci贸n
137. Superficies regladas
138. Transformaci贸n de coordenadas rectangulares en el espacio
139. Ecuaci贸n general de segundo grado con tres variables
140. Cu谩dricas con centro
141. Cu谩dricas sin centro
CAPITULO XVII
CURVAS EN EL ESPACIO
142. Introducci贸n
143. Curvas planas en el espacio
144. Curva de intersecci贸n de las superficies de dos cilindros rectos
145. Cilindros proyectantes de una curva del espacio
146. Construcci贸n de las curvas del espacio
147. Ecuaciones param茅tricas de una curva del espacio
148. Construcci贸n de vol煤menes
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Atentamente,
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